五次方程的挑战

2019-12-11 14:53:51

初中的主要数学课程是几何与代数。“代数”一词,是九世纪时亚细亚的数学家阿里·花拉子模首先使用的。英文的“Algebra”一词,是从阿里·花拉子模那里来的。我国从1711年清朝康熙五十年起,先后音译作“阿尔朱巴尔”、“阿尔热巴拉”、“阿尔热八达”等。1859年清朝咸丰九年,李善兰与伟烈亚力合译的《代数学》,是我国意译“Algebra”为“代数”的开始。
  
  前面已经说过,解析几何的出现,使人们可以通过解代数方程来解答几何问题。因此,规尺作图三大难题的解决,同代数方程的解挂上了钩。
  
  但是,很多数学史的书上只说阿里·花拉子模是世界上最先求得二次方程一般解的人,原因是丢番都当时认为只有根式下的数是一个完全平方时,方程才能算有解,并且丢番都只承认正根。
  
  到了16世纪,意大利数学家卡尔丹和他的学生费尔拉利,相继发表了用根式求解三次方程与四次方程的方法。卡尔丹在发表三次方程的公式证明时曾声明,公式是威尼斯的塔尔塔利亚告诉他的。这个公式实际上是公元1500年左右波仑亚的数学教授非尔洛最先研究,几经转折,为塔尔利亚完全掌握,在卡尔丹保证保密后告诉了卡尔丹的,但六年后,卡尔丹给出证明发表了。数学界称这个公式为卡尔丹公式。
  
  由于无论是二次方程、三次方程还是四次方程,都能通过根式求它的一般解,于是很多数学家,争相研究和寻找根式求解五次方程的公式。经历16世纪的后半叶、17世纪、18世纪,直到19世纪初,很多数学家和数学爱好者,都把它作为检验自己才能的试金石,可是毫无例外,他们都失败了。
  
  根式解法虽然没有找到,可是人们却积累了很多的经验和知识,特别值得一提的,是法国数学家拉格朗日。他在高次方程根的排列等方面作了很多的工作,而且提出这是整个问题的关键。他还指出用根号解五次以上的方程,是不可能解决的问题之一。可是,他对不可能没有给出什么证明,他就这个问题的困难性说:“它好像是在向人类的智慧挑战。”人类的智慧终于夺得了胜利。
  
  在拉格朗日去世后11年的1824年,挪威22岁的数学家阿贝尔,证明了一般五次以上的代数方程,它们的根式解法是不存在的。这就是说,除了某些特殊的五次以上的方程,可以用根式解外,许多五次以上的方程,把它的系数看成字母,无论由这些字母组成什么样的千奇万状的根式,都不可能是这个方程的根。延续300年的难题解决了。阿贝尔的成果轰动了世界!
  
  阿贝尔一方面证明了有的方程不能用根式解;另一方面也可以举例证明,有的方程能用根式解。于是,能用根式解或者不能用根式解的方程,到底用什么来判断呢?阿贝尔没有来得及解决这一问题。因为他少年时期备受贫困折磨。身体十分虚弱,在27岁上,就害痨病死了。
  
  科学的接力棒总是要继续往下传的。法国数学家伽罗华在阿贝尔去世后的第二年,完成了这一项艰巨的工作。可惜他的生命更加短促,只活了21岁。